Home / Pelajaran / 10 Teori Matematika Ajaib dan Unik (Part 1)

10 Teori Matematika Ajaib dan Unik (Part 1)

Posted by Unknown Minggu, 22 September 2013 0 komentar

Kali ini, hudayajati 18 mengangkat tema seputar 10 Teori Matematika paling ajaib dan unik di dunia. Tapi, karena halaman referensinya kepanjangan, hudayajati18 membagi topik tersebut menjadi 2 bagian. Kalian yang pernah belajar matematika tentunya takjub dan sedikit bingung dengan ulasan di bawah ini. Cekibrotttt:

10. 0,9999999…. = 1

Pembaca pasti berpikir bahwa 0,9999999…. dan 1 adalah dua bilangan yang berbeda . Tidak-tidak keduanya merupakan bilangan yang sama

Penjelasan:
Salah satu alasan mengapa desimal tak terhingga merupakan perluasan yang perlu dari desimal terhingga adalah untuk merepresentasikan pecahan. Dengan menggunakan pembagian panjang, pembagian bilangan bulat yang sederhana seperti 1⁄3 akan menghasilkan desimal berulang 0,333…. Desimal berulang ini mempunyai digit yang berulang tanpa akhir. Desimal ini memberikan bukti cepat 0,999… = 1. Perkalian 3 kali 3 menghasilkan 9 pada setiap digit, sehingga 3 × 0,333… sama dengan 0,999…. Dan 3 × 1⁄3 sama dengan 1, sehingga 0,999… = 1.[1]
Bentuk pembuktian lainya adalah perkalian 1/9 = 0.111… dengan 9.

Dan

9. Identitas Euler

$e^{i\pi}=-1$

Jika agan lihat nilai e=2,71828182845904523536… , π = 3,14159265358979323846 dan i=√-1, sepertinya mustahil e pangkat iπ hasilnya -1
Pembuktian:
Nah, sekarang gw bakal ngebuktiin persamaan tersebut bener. ambil $z=cos\theta+isin\theta$ persamaan di bilangan complex lalu kita turunin diperoleh $\frac{dz}{d\theta}=-sin\theta+icos\theta$ Padahal $iz=icos\theta-sin\theta=-sin\theta+icos\theta$ inget $i^2=-1$ jadi $\frac{dz}{d\theta}=iz$ , $\int\frac{dz}{z}=\int id\theta$ , $ln z=i \theta+C$ , $z=e^{i\theta+C}$ Sekarang kita nyari nilai konstanta C karena z=cos\theta+isin\theta nilainya satu untuk \theta=0 maka nilai C adalah nol. Maka persamaan kita menjadi $z=cos\theta+isin\theta=e^{i\theta}$ Yang disebut dengan persamaan euler.Nah sekarang kita ambil nilai\theta=\pi diproleh $-1=cos\pi+isin\pi=e^{i\pi}$ = $-1=e^{i\pi}$ Dan akhirnya kita dapet $e^{i\pi}+1=0$

8. i pangkat i

Pembaca tahu bahwa $i=\sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner, tapi apakah ente tahu i pangkat i hasilnya adalah bilangan real $i^{i}=0.20788\ldots$ . aneh bukan ? ane juga bingung kok gan

Penjelasan:
Untuk mengetahuinya kita menggunakan persamaan euler $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ masukkan $x=\pi/2$ diperoleh $e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)$ = $e^{i\pi/2}=0+i1$ = $e^{i\pi/2}=i$ Lalu pangkatkan kedua sisi dengan i diperoleh $(e^{i\pi/2})^{i}=i^{i}$ karena sifat perpangkatan $(a^{b})^{c}=a^{bc}$ dan $-1=ii$ diperoleh $e^{-\pi/2}=i^{i}$ = $\approx0.207879576350761908546955...$ dan i^i adalah bilangan transendental

7. Jumlah sudut Segitiga tidak selalu 180°

Di Sekolah ente ente pasti diajarkan bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180° , padahal sebenarnya jumlah sudut Segitiga tidak selalu 180°. Jumlah sudut segitiga tergantung pada bidang apa segitiga itu digambar. Jika segitiga itu digambar di bidang datar (Geometri Euclid) maka jumlah sudutnya selalu 180°. Akan tetapi jika segitiga terbut digambar di bidang cembung /cekung (Geometri Non-Euclid) maka jumlah sudutnya tidak lagi 180°. Okey gampangnya gini dech, coba ente gambar segitiga pada bola, lalu hitung sudutnya. Apa jumlahnya masih 180° ?

6. Himpunan tak-hingga

Sesuai namanya himpunan tak hingga adalah himpunan yang mempunyai tak-hingga elemen , bagaimana mengetahui sutu himpunan adalah tak-hingga atau bukan?

Definsi: Himpunan X dikatakan tak hingga jika terdapat X himpunan bagian yang sebenarnya (proper subset) S\subset X, sedemikian hingga X dan S mempunyai elemen yang sama banyaknya $\left|S\right|=\left|X\right|$

Contoh: $I=\left(0,1\right)\subset\mathbb{R}$ (himpunan bilangan real), tentunya agan tahu bahwa interval terbuka dari nol sampai satu bagian dari himpunan bilangan real akan tetapi apakah agan tahu bahwa I mempunyai elemen yang sama banyaknya dengan $\left|I\right|=\left|\mathbb{R}\right|$ ? Mm..sepertinya suatu hal yang mustahil ya kan ?

5. Teorema Fundamental Kalkulus

Turunan dan Integral adalah dua hal yang amat-amat berbeda. Akan tetapi Teorema Fundamental Kalkulus dapat menghubungkan kedua hal yang berbeda tersebut dengan amat cantiknya. Menurut Teorema Fundamental kalkulus: Integral merupakan anti turunan. Bagi ane, ini merupakan teorema terfavorit ane .

Sumber

TERIMA KASIH ATAS KUNJUNGAN SAUDARA

Judul: 10 Teori Matematika Ajaib dan Unik (Part 1)
Ditulis oleh Unknown
Rating Blog 5 dari 5

Semoga artikel ini bermanfaat bagi saudara. Jika ingin mengutip, baik itu sebagian atau keseluruhan dari isi artikel ini harap menyertakan link dofollow ke http://hudayajati18.blogspot.com/2013/09/10-teori-matematika-ajaib-dan-unik-part.html. Terima kasih sudah singgah membaca artikel ini.